Чтобы сдать ОГЭ по математике, тебе необходимо набрать как минимум два балла по геометрии, а чтобы сдать экзамен на высокий балл, нужно в ней хорошо разбираться. Поэтому важно уделять внимание алгебре и геометрии. В этой статье Шамиль, преподаватель ведущей онлайн-школы PARTA, расскажет тебе, как решать задачи на площадь треугольника в ОГЭ 2025.
Самая важная геометрическая фигура - треугольник. Они встречаются везде. Они фундаментальны. Ты будешь рассматривать их и в задачах на треугольники и на четырехугольники и даже в задачах на окружности будут треугольники. Им нужно уделить особое внимание. Важно знать свойства треугольников и их чевиан (медиана, биссектриса, высота). Особыми свойствами обладают равнобедренные и равносторонние (правильные) треугольники. Важное место занимают прямоугольные треугольники, теорема Пифагора и тригонометрия. Во второй части геометрии часто (примерно в 70% задач) встречаются задачи на подобие треугольников. Многое о треугольнике нужно знать для успешной сдачи экзамена. Сейчас мы разберемся с заданиями на площадь треугольника. Рассмотрим, какие формулы применяются в ОГЭ для нахождения площади треугольника и какие задания будут у тебя на экзамене.
Площадь треугольника через высоту
Самая простая и общеизвестная формула - это половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поясню: высота - это отрезок, который провели из вершины перпендикулярно (то есть под углом 90°) к стороне (которая как раз и называется основанием). Берешь сторону, к ней из противоположной вершины (точки) опускаешь высоту (перпендикуляр), перемножаешь эту сторону на высоту и делишь на 2.
Многие школьники готовятся к экзаменам, заучивая теорию, но это только половина успеха. Знание формул, правил и определений важно, но без практики они могут остаться просто набором слов. Чтобы действительно разобраться в теме и уверенно чувствовать себя на экзамене, тебе необходимо регулярно решать задания.
Практика поможет: ✔ Закрепить знания — когда применяешь теорию на практике, она запоминается лучше. ✔ Найти слабые места — при решении задач становится ясно, где есть пробелы. ✔ Привыкнуть к формату экзамена — это снижает стресс и помогает быстрее находить правильные ответы.
Давай разберем пример задания №17 из реального ОГЭ по математике
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
В этой задаче нам сразу известна сторона (18) и высота, проведенная к этой стороне (17). Все что от нас требуется, воспользоваться формулой и перемножить числа. Таким образом: S = 0,5*a*ha = 0,5*18*17 = 9*17 = 153 Ответ: 153
После того, как ты решил одну задачу, может возникнуть ощущение, что тема стала понятной и простой. Но важно не останавливаться! Экзамен состоит из множества заданий, и каждый тип может содержать свои нюансы.
Пример задания №18 из реального ОГЭ по математике
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите площадь этого треугольника.
Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить ту же самую формулу и рассчитать длину стороны и высоты проведённой к этой стороне по клеточкам Сторона получилась равна десяти, а высота, проведенная к этой стороне - семи. Значит площадь: S = 0,5*a*ha = 0,5*10*7 = 5*7 = 35 Ответ: 35
Площадь прямоугольного треугольника
Как тебе уже известно, прямоугольные треугольники занимают особое положение среди остальных классов треугольников, так как обладает отдельными красивыми и полезными свойствами и формулами. Формула площади тут не исключение. Из названия ясно, что у прямоугольного треугольника есть прямой угол между сторонами (катетами). Но ведь высота - это как раз перпендикуляр (отрезок проведенный под прямым углом к стороне). Тогда немного поразмыслив, можно осознать, что катеты прямоугольного треугольника являются друг другу основаниями и высотами. Значит основание - это первый катет, а высота проведенная к этой стороне - второй катет. Тогда формулу площади прямоугольного треугольника можно записать так. S = 0,5*a*b, где a и b - катеты прямоугольного треугольника. Но не стоит забывать и о том, что можно провести высоту и к гипотенузе. Тогда S = 0,5*a*b = 0,5*c*hc, где a и b - катеты прямоугольного треугольника, с - гипотенуза, hc - высота, проведенная к гипотенузе. (вообще при проведении высоты к гипотенузе получается три подобных треугольника и в этом сюжете кроется куча классных свойств и соотношений - но это тема отдельной статьи) S = 0,5*a*b = 0,5*c*hc
Если формулы кажутся сложными, а информация не запоминается – не переживай! Главное в подготовке к экзамену – регулярная практика. Решая задания, ты быстрее разберешься в теме и почувствуешь уверенность в своих знаниях. Мы готовы помочь тебе на каждом этапе! Запишись на бесплатный вводный урок, где ты получишь поддержку опытного наставника, который ответит на все вопросы.
Пример задания №17 из реального ОГЭ по математике
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Так как ты уже понял, что катеты являются друг другу высотами, и отсюда площадь прямоугольного треугольника это половина произведения катетов, то решаем задачу S = 0,5*a*b = 0,5*4*9 = 2*9 = 18 Ответ: 18
Регулярная практика помогает лучше запомнить формулы и научиться быстро решать задания. Давай разберем следующий способ вычисления площади и еще раз убедимся, что математика может быть простой и логичной!
Площадь треугольника через синус
Вторая формула нахождения площади треугольника - это половина произведения двух сторон на синус угла между ними. Эта формула выводится из прошлой форму нахождения площади через высоту и тригонометрию, но мы не будем доказывать ее в этой статье (это будет твое домашнее задание). S = 0,5*a*b*sinC S = 0,5*a*c*sinB S = 0,5*b*c*sinA
Пример задания №17 из реального ОГЭ по математике
В треугольнике известно, что AB = 12, BC = 10, sin∠ABC = 8/15. Найдите площадь треугольника.
Так как нам известен синус угла B, то использовать будем его и прилежащие к нему стороны AB и BC, которые тоже нам известны. S = 0,5*AB*BC*sinB = 0,5*12*10*8/15 = 60*8/15 = 4*8 = 32 Ответ: 32
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
Не всем известна формула нахождения площади описанной фигуры через радиус вписанной окружности и периметр. Эту формулу обязательно нужно знать в 9 классе, так как она встречается на ОГЭ в заданиях первой части. Площадь любого многоугольника, в который вписана окружность, равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр описанного многоугольника.
S = 0,5*r*(AB + BC + AC) = 0,5*r*P = p*r
Пример задания №16 из реального ОГЭ по математике
Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.
Как мы только что выяснили площадь описанного треугольника - это произведение полупериметра на радиус вписанной окружности. Значит площадь: S = 0,5*P*r = 0,5*50*4 = 25*4 = 100 Ответ: 100
* хочу подметить, что в этой задаче дана лишняя информация “одна из сторон равна 20” - это классическая попытка тебя запутать в заданиях геометрии первой части. Такое будет встречаться часто - не ведись на провокации. Ты не обязан использовать все, что дано в задаче.Не переживай — мы поможем тебе разобраться во всех сложных моментах! Вместе мы справимся с любыми задачами и подготовимся к экзамену на все 100%. Запишись на бесплатную консультацию с экспертом PARTA прямо сейчас.
Еще не устал? Отлично! Давай бонусом разберем задачу, которая поможет тебе закрепить знания на практике и точно убедиться, что ты полностью разобрал эту тему.
Очень интересная задача №23 второй части.
“Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе”
Мы нарисовали рисунок и записали дано.Как ты будешь решать задачу “найдите площадь прямоугольного треугольника”? Вариантов много. Можно решать и через синус и через радиус вписанной окружности и т.д. Но самое очевидное это - половина произведения высоты на основание. Если за основание взять гипотенузу, то высота будет BH. Но с другой стороны - если за основание взять катет,то для него высотой будет второй катет. Таким образом мы можем найти площадь прямоугольного треугольника через высоту и основание двумя способами. Но от способа нахождения площадь треугольника меняться не будет. Значит мы можем приравнять площадь этого треугольника найденную разными способами. Это стандартный прим при решение различных заданий геометрии. S(∆ABC) = 0,5*AB*BC = 0,5*AC*BH => AB*BC = AC*BH
Отсюда мы можем вывести формулу: произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней. А дальше дело за малым. Мы знаем катет и гипотенузу. Нам нужно найти высоту. Есть понимание, что высота на гипотенузу - это произведение катетов. Значит осталось лишь найти второй катет по теореме Пифагора и воспользоваться выведенной нами формулой. Вот такое получается решение.
Теперь, когда ты все подробно разобрал и освоил, как решать задачи на площадь треугольника в ОГЭ 2025, ты можешь быть уверен, что эта тема для тебя под контролем. Всё, что нужно — это регулярная практика, и ты будешь решать задачи без труда!
Чтобы помочь тебе в подготовке, мы дарим бесплатный вводный урок. На нем ты сможешь отточить обсудить сложные моменты и получить поддержку от опытного наставника. Не упусти шанс — запишись на урок и продолжай готовиться к ОГЭ с уверенностью!
