Теория вероятностей на ЕГЭ по математике

Если ты готовишься к профильному ЕГЭ в 2025 году, то точно хочешь набрать максимум баллов и не упустить ни одной «лёгкой» темы. Один из таких разделов — теория вероятности. 

Решение задач на вероятность — важная часть профильного ЕГЭ по математике. В варианте ЕГЭ 2025 по математике эта тема входит в задания №4 и №5. Эти задачи проверяют твоё умение логически мыслить и применять математические знания к реальным ситуациям. Даже если сейчас ты не до конца разобрался в теории вероятностей, не переживай: разберём основные принципы — и всё станет яснее.

Во-первых, задачи на теорию вероятностей встречаются в тестовой части экзамена и довольно просты, если понять базовые идеи. Это шанс набрать лёгкие баллы. Во-вторых, профильная математика охватывает основные разделы: алгебру, геометрию, анализ и теорию вероятностей. Освоив этот раздел, ты укрепишь свой математический профиль и будешь увереннее на экзамене. В-третьих, разбор задач на вероятность развивает логическое мышление, а также навыки решения комбинаторных задач (подсчёта вариантов). Это пригодится не только на экзамене, но и в жизни.

С опытным преподавателем и понятным объяснением даже самая запутанная тема станет простой и логичной. Начни с бесплатного вводного урока. Мы поможем тебе!

Основные принципы теории вероятности

Закон больших чисел

При большом числе испытаний относительная частота случаев стремится к его теоретической вероятности. Иными словами, на длинной дистанции результаты “выравниваются”: если шанс успеха 20%, то в очень большом количестве попыток около 20% исходов будут успешными.

Правило сложения вероятностей

Вероятность события “A или B” = P(A) + P(B) для несовместимых (которые не могут произойти вместе). Если они могут произойти одновременно, из суммы нужно вычесть их пересечение: P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Обращай внимание, что результат не должен превышать 1 — иначе допущена ошибка.

Правило умножения вероятностей

Вероятность одновременного исхода “A и B” равна произведению вероятностей: P(A) * P(B) для независимых событий. Если события зависимы, вместо P(B) берётся условная вероятность P(B|A).

Независимые и зависимые события

События называются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность другого. Например, бросок монеты и бросок кубика: выпавший орёл никак не меняет шансы выпадения шести. Если события независимы, можно смело применять правило умножения.

Если наступление A меняет вероятность наступления B, эти события зависимые. В таком случае при расчёте P(A и B) нужно учитывать условную вероятность P(B|A). Пример: вытягиваем карту из колоды без возвращения, затем вторую. Вероятность вытянуть пики со второго раза зависит от того, была ли первая карта пикой. Во многих задачах (подбрасывание монеты, броски кубика и т.д.) события по умолчанию независимы, если не сказано обратное. Если одно событие влияет на другое – используй формулу условной вероят. или дели решение на случаи.

Условная вероятность

Вероятность события A при условии, что произошло B, обозначается P(A|B) и вычисляется как P(A ∩ B) / P(B). Мы рассматриваем только те исходы, где произошло B, и среди них находим вероятность A.

Например, пусть вероятность того, что студент сдаст математику, равна 0,8; русского языка – 0,7; а оба экзамена – 0,65. Спрашивают: какова вероятность, что будет сдана математика, если известно, что сдал русский? Ищем P(математика | русский язык) = 0,65 / 0,7 ≈ 0,93 (93%). Зная, что B произошло, пересчитываем вероятность A в новых условиях.

Решение задач по теории вероятности

Чтобы успешно решать задачи на вероятность, следуй таким шагам:

1. Внимательно прочитай условие. Определи, какое событие требуется найти и что дано (исходные данные).
2. Найди благоприятные и все возможные исходы. Перечисли случаи, которые подходят под условие события, и посчитай общее число исходов. Это классическое определение вероятности: P = число благоприятных / число всех исходов.
3. Выбери способ и формулы решения. Реши, к какому правилу или формуле сводится задача. Нужно ли складывать (альтернативные случаи) или перемножать (последовательные независимые события)? А может, проще найти вероятность противоположного события и вычесть из 1? Если события зависят друг от друга – используй условные вероятности или разбей задачу на отдельные случаи.

Многие задачи ЕГЭ сводятся к типовым сюжетам: комбинаторика, надёжность систем, экзаменационные билеты, бытовые ситуации и т.д. Распознав знакомый сюжет, тебе будет легче понять, какую модель решения применять.

Сложно запомнить все формулы и правила сразу? Не волнуйся! На бесплатном вводном уроке мы объясним ключевые идеи, научим видеть тип задач и быстро находить нужную стратегию.

Примеры задач

Пример 1. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,25; во втором — тоже 0,25. Вероятность, что он закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность, что кофе не закончится ни в одном автомате к концу дня.

Решение: Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,25 + 0,25 – 0,1 = 0,4. Тогда вероятность, что кофе не закончится ни в одном, = 1 – 0,4 = 0,6 (60%).

Пример 2. Два фермерских хозяйства сдали на фабрику яйца. В первом хозяйстве 80% яиц высшей категории, во втором – 60%. Все яйца перемешали в общем контейнере. Случайно выбранное яйцо с равной вероятностью может быть из первого или второго хоз. Какова вероятность, что выбранное яйцо окажется высшей категории?

Решение: Вероятность того, что яйцо взято из первого хозяйства, равна 0,5 (как и из второго). Тогда искомая вероятность необходимой категории = 0,5 * 0,8 + 0,5 * 0,6 = 0,7 (70%).

Типичные ошибки

• Неправильный подсчёт благоприятных исходов. В спешке можно включить лишние случаи или забыть некоторые нужные. Чтобы ничего не упустить, перечисляй все подходящие исходы.
• Сложение вероятностей без проверки эксклюзивности. Нельзя складывать вероят. случаев, которые могут произойти одновременно. Если случаи не взаимоисключающие, при суммировании вычти вероятность их одновременного наступления.
• Перемножение вероятностей без условий. Частая ошибка – умножать вероят. подряд, не учитывая, что после первого события условия изменились. Если они зависимы, нельзя просто взять P(A)*P(B) – нужно использовать P(B|A) или решать по отдельным случаям.
• Ошибки в расчётах. Неправильно сокращённые дроби, путаница между долями и процентами и другие арифметические огрехи могут испортить решение. Записывай каждый шаг и перепроверяй вычисления.
• Недостаточная проверка результата. После получения ответа прикинь, реалистичен ли он. Вероятность не может быть больше 1 или отрицательной. Если ответ выглядит нелогично (например, подозрительно мал), пересмотри решение.

Подготовка к экзамену по теории вероятностей

• Выучи теорию. Убедись, что хорошо понимаешь основные понятия: что такое случайное событие, как вычисляется вероятность, чем отличаются независимые события от зависимых и т.д. Без этого даже простые задачи могут поставить в тупик.
• Собери формулы. Выпиши в отдельный шпаргалку все ключевые формулы: сложение вероятностей, умножение, условная вероятность. Освежи в памяти формулы комбинаторики (сочетания, перестановки) для подсчёта числа исходов.
• Решай больше задач. Практикуйся на заданиях из пособий или вариантах экзамена прошлых лет. Начни с простых, затем переходи к более сложным. Постепенно потренируй все типы: на классическое определение вероятности, на условную вероятность, на многократные испытания.
• Разбирай ошибки. Если задача решена неверно, выясни, в чём ошибка. Возможно, неправильно понял условие или спутал формулу. Каждая исправленная ошибка уменьшает шанс допустить её снова на экзамене.

Теория вероятностей — сравнительно несложный, но очень важный раздел профильного ЕГЭ по математике. Освоив основные принципы и набив руку в решении задач, ты уверенно приблизишься к заветным 100 баллам на экзамене!

Хочешь сэкономить время и учиться эффективнее? Тогда не теряй ни минуты — запишись на бесплатный вводный урок в онлайн-школе PARTA. Мы покажем, как решать задачи на вероятность быстро, без страха и стресса. Вместе мы подготовимся к экзамену так, чтобы ты был спокоен за свой результат.